2023年天津市高考数学试卷真题.pdf

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. “ ”是 “ ” （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ） A. B. C D. 5. 已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为 4，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D.       1, 2, 3, 4, 5 , 1, 3 , 1, 2, 4 U A B    UBA  ð   1, 3, 5   1, 3   1, 2, 4   1, 2, 4, 5 22ab  22 2 a b ab  0.5 0.6 0.5 1.01 , 1.01 , 0.6 a b c   ,,abc c a b c b a abc bac   fx   fx   2 5 e e 2 xx x    2 5 sin 1 x x    2 5 e e 2 xx x    2 5 cos 1 x x    fx 2 x   fx sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  的 .

6. 已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法正确的是（ ） A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性 B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 8. 在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则 三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已 知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ） A. B. C D. 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1个的给 3分，全部答对的给 5分． 10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为 _________ ．  na nS  na n 1 22 nnaS   4a 0.8245 r 0.8245 P ABC PC M 1 3 PM PC  PB N 2 3 PN PB  P AMN P ABC 1 9 2 9 1 3 4 9 22 22 ( 0, 0) xy ab ab    12FF、 2F P 2 2 PF  1 PF 2 4 22 1 84 xy  22 1 48 xy  22 1 42 xy  22 1 24 xy  i 5 14i 2 3i   .

11. 在 的展开式中， 项的系数为 _________ ． 12. 过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若 ，则 的 值为 _________ ． 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑球占总数的比 例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 _________ ；将三 个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 _________ ． 14. 在 中， ， ，点 为 中点，点 为 的中点，若设 ， 则 可用 表示为 _________ ；若 ，则 的最大值为 _________ ． 15. 若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 _________ ． 三、解答题：本大题共 5小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角 所对的边分別是 ．已知 ． （ 1） 求 值； （ 2） 求 的值； （ 3） 求 ． 17. 三棱台 中，若 面 ， 分别是 中点 . （ 1） 求证： //平面 ； 6 3 1 2x x    2x 22 : ( 2) 3 C x y    2 2 ( 0) y px p  P 8 OP  p 5 : 4 : 6 40%, 25%, 50% ABC 60 A 1 BC  D AB E CD , AB a AC b  AE ,ab 1 3 BF BC  AE AF    22 21 f x ax x x ax      a ABC ,,A B C ,,abc 39, 2, 120 a b A    sin B c   sin BC 1 1 1 ABC A B C - 1AA  1 1 1 , , 2, 1 ABC AB AC AB AC AA A C      , MN , BC BA 1AN 1C MA 的 的

（ 2） 求平面 与平面 所成夹角的余弦值； （ 3） 求点 到平面 的距离． 18. 设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ． （ 1） 求椭圆方程及其离心率； （ 2） 已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角 形 面积的二倍，求直线 的方程． 19. 已知 是等差数列， ． （ 1） 求 的通项公式和 ． （ 2） 已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ， （ Ⅰ） 当 时，求证： ； （ Ⅰ） 求 的通项公式及其前 项和． 20. 已知函数 ． （ 1） 求曲线 在 处切线的斜率； （ 2） 当 时，证明： ； （ 3） 证明： ． 1C MA 11 ACC A C 1C MA 22 22 1( 0) xy ab ab     12, AA F 12 3, 1 A F A F  P 2AP y Q 1A PQ 2A FP 2AP  na 2 5 5 3 16, 4 a a a a      na 1 21 2 n n i i a    nb *N k 1 2 2 1kk n     1 k n kb a b   2 k 2 1 2 1 k k k b      nb n     11 ln 1 2 f x x x      y f x 2 x 0 x   1 fx      51 ln ! ln 1 62 n n n n       

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【 1题答案】 【答案】 A 【 2题答案】 【答案】 B 【 3题答案】 【答案】 D 【 4题答案】 【答案】 D 【 5题答案】 【答案】 B 【 6题答案】 【答案】 C 【 7题答案】 【答案】 C 【 8题答案】 【答案】 B 【 9题答案】 【答案】 D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1个的给 3分，全部答对的给 5分． 【 10 题答案】 【答案】 ## 【 11 题答案】 【答案】 【 12 题答案】 【答案】 【 13 题答案】 4i i4 60 6

【 答案 】 Ⅰ. Ⅰ. ## 【 14 题答案】 【 答案 】 Ⅰ. Ⅰ. 【 15 题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共 5小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【 16 题答案】 【答案】 （ 1） （ 2） （ 3） 【 17 题答案】 【答案】 （ 1） 证明见解析 （ 2） （ 3） 【 18 题答案】 【答案】 （ 1） 椭圆的方程为 ，离心率为 . （ 2） . 【 19 题答案】 【答案】 （ 1） ， ； （ 2） (Ⅰ )证明见解析； (Ⅱ ) ，前 项和为 . 【 20 题答案】 【答案】 （ 1） 0.05 3 5 0.6 11 42ab 13 24       , 0 0,1 1,    13 13 5 73 26  2 3 4 3 22 1 43 xy  1 2 e   6 2 2 yx   21 nan  1 21 21 2 32 n n n i i a      2n nb  n 1 22n 1 ln 3 34

（ 2） 证明见解析 （ 3） 证明见解析