天津市高职升本科数学考试大纲（2023年9月修订）.pdf

1 天津市高等院校 “ 高职升本科 ” 招生统一考试 高等数学考试大纲 （ 2023 年 9 月修订 ） 一 、 考试性质 天津市高等院校 “ 高职升本科 ”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性 考试 ．高等院校根据考生的成绩 ，按照已确定的招生计划 ，择优录取 ．因此 ，考试应该具有 较高的信度 、 效度 、 适当的难度和必要的区分度 ． 二 、 考试内容与基本要求 （ 一 ） 能力要求 高等数学考试是对考生思维能力 、 运算能力和实践能力的考查 ． 思维能力表现为对问题进行分析 、综合 ，科学推理 ，并能准确地表述 ．数学思维能力表 现为以数学知识为素材 ，通过归纳抽象 、符号表示 、运算求解 、演绎证明和空间想象等诸方 面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断 ． 运算能力表现为根据法则 、 公式进行正确运算 、 变形和数据处理 ， 能根据问题的条件 ， 寻找与设计合理 、简洁的运算途径 ．运算包括对数字的计算 ，对式子的组合变形与分解变形 ， 对几何图形各几何量的计算求解等 ． 实践能力表现为综合应用所学基本概念 、基本理论等数学知识 、数学思想和方法解决生 产 、 生活和相关学科中的简单数学问题 ． （ 二 ） 内容与要求 《 高等数学 》 科目考试要求考生掌握必要的基本概念 、 基础理论 、 较熟练的运算能力 ， 在识记 、理解和应用不同层次上达到普通高校 （ 工科专业 ）专科生高等数学的基本要求 ，为 进一步学习奠定基础 ． 对考试内容的要求由低到高分为了解 、理解 、掌握 、灵活和综合运用四个层次 ，且高一 级的层次要求包含低一级的层次要求 ． 了解 (A) ： 对所列知识内容有初步的认识 ， 会在有关问题中进行识别和直接应用 ． 理解 (B) ： 对所列知识内容有理性的认识 ， 能够解释 、 举例或变形 、 推断 ， 并利用所列 知识解决简单问题 ． 掌握 (C) ： 对所列知识内容有较深刻的理性认识 ， 形成技能 ， 并能利用所列知识解决有 关问题 ． 灵活和综合运用 (D) ： 系统地把握知识的内在联系 ， 并能运用相关知识分析 、 解决较复 杂的或综合性的问题 ． 具体内容与要求详见表 1— 表 7．

2 函数 ， 极限 ， 连续性 表 1 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 函 数 函数概念的两个要素 （ 定义域和对应规则 ） √ 分段函数 √ 函数的奇偶性 ， 单调性 ， 周期性和有界性 √ 反函数 ， 复合函数 √ 基本初等函数的性质和图像 ， 初等函数 √ 极 限 极限 （ 含左 、 右极限 ） 的定义 √ 极限存在的充要条件 √ 极限四则运算法则 √ 两个重要极限 √ 无穷大 、 无穷小的概念及相互关系 ， 无穷小的性质 √ 无穷小量的比较 √ 用等价无穷小求极限 √ 连 续 性 函数在一点处连续 、 间断的概念 √ 间断点的类型 ：包括第一类间断点 （ 可去间断点 ，跳跃间断点 ）及第二 类间断点 √ 初等函数的连续性 √ 闭区间上连续函数的性质 （ 介值定理 ，零点定理和最大值 、最小值定理 ） √ 一元函数微分学 表 2 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 导数的概念及其几何意义 √ 可导性与连续性的关系 √

3 导数 与 微分 平面曲线的切线方程与法线方程 √ 导数的基本公式 ， 四则运算法则和复合函数的求导方法 √ 微分的概念 ， 微分的四则运算 ， 可微与可导的关系 √ 高阶导数的概念 √ 显函数一 、 二阶导数及一阶微分的求法 √ 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法 √ 由参数方程所确定的函数的二阶导数 √ 中值 定理 与 导数 应用 罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论 √ 罗必达法则 √ 未定型的极限 √ 函数的单调性及判定 √ 函数的极值及求法 √ 函数曲线的凹凸性及判定 ， 拐点的求法 √ 函数的最大值 、 最小值 √ 一元函数积分学 表 3 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 不 定 积 分 原函数的概念 、 原函数存在定理 √ 不定积分的概念及性质 √ 不定积分的第一 、 二类换元法 ， 分部积分法 √ 简单有理函数的积分 √ 定 积 分 定积分的概念及其几何意义 √ 定积分的基本性质 √ 变上限函数及导数 √

4 牛顿 — 莱布尼兹公式 ， 定积分的换元法和分部积分法 √ 定积 分的 应用 平面图形的面积 √ 旋转体的体积 √ 向量代数与空 间解析几何 表 4 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 向量 代数 空间直角坐标系 ， 向量的概念 ， 向量的坐标表示法 √ 单位向量及方向余弦 √ 向量的线性运算 ， 数量积和向量积运算 √ 向量平行 、 垂直的充要条件 √ 空间 解析 几何 平面的方程及其求法 √ 空间直线的方程及其求法 √ 平面 、 直线的位置关系 （ 平行 、 垂直 ） √ 多元函数微分学 表 5 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 多元 函数 的极 限与 连续 多元函数的概念 ， 二元函数的定义域 √ 二元函数的极限与连续性 √ 偏导 数与 全微 分 偏导数的概念 √ 二元函数一 、 二阶偏导数的求法 √ 求复合函数与隐函数的一阶偏导数 （ 仅限一个方程确定的隐函数 ） √

5 偏导 数的 应用 二元函数的全微分 √ 二元函数的无条件极值 √ 空间曲面的切平面方程和法线方程 √ 二重积分 表 6 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 概念 与 计算 二重积分的概念及性质 、 几何意义 √ 直角坐标系下计算二重积分 √ 交换积分次序 √ 极坐标系下计算二重积分 √ 常微分方程 表 7 考 试 内 容 考 试 要 求 A B C D 概念 常微分方程的解 、 通解 、 初始条件和特解的概念 √ 一阶 方程 一阶可分离变量方程 √ 一阶线性方程 √ 二阶 方程 二阶常系数线性齐次微分方程 √ 三 、 考试形式与试卷结构 考试为闭卷 、 笔试 ， 试卷满分为 150 分 ， 考试限定用时为 12 0分钟 ． 全卷包括 I卷和 II卷 ， I卷为选择题 ， II卷为非选择题 ． 试题分选择题 、 填空题和解答 题三种题型 ．选择题是四选一类型的单项选择题 ；填空题只要求直接填写结果 ，不要求写出 计算过程或推证过程 ；解答题包括计算题 、证明题和应用题等 ，解答题应写出文字说明 、演 算步骤或证明过程 ． 三种题型 （ 选择题 、 填空题和解答题 ） 题目数分别为 6、 6、 5， 整卷 共 17 道题 ； 选择题和填空题约占总分的 48% 左右 ， 解答题约占总分的 52% 左右 ， 试卷包括容

6 易题 、 中等难度题和较难题 ， 总体难度适当 ， 以中等难度题为主 ． 四 、 题型示例 为了便于理解考试内容和要求 ，特编制下列题型示例 ，以供参考 ．所列样题力求体现试 题的各种题型及其难度 ，它与考试时试题的数目 、题序安排 、考查内容 、难度没有对应关系 . （ 一 ） 选择题 1． 函数 2 ()4ln(1)fxxx  的定义域为 A． [12]， B． (12]， C． (21) ， D． [21) ， 答案 ： B 2． 当 0 x 时 ， 与 x等价 的 无穷小 量 是 A． tan x B． 2sin x C． 2e1x D． ln(1) x 答案 ： A 3． 2 0 d cosd d x tt x   A． 2 sin x  B． 2 2sinxx  C． 2 cos x D． 2 2cosxx 答案 ： C （ 二 ） 填空题 1． 极限 2 2 3 9 lim 23 x x xx     _____________. 答案 ： 3 2 2． 函数 2 ()e x fxx  在 0 x 处的二阶导数 的值为 _____________. 答案 ： 3 3． 函数 ln(3) zxy 的 全微分 dz_____________. 答案 ： 3dd 3 xy xy   （ 三 ） 解答题 1． 求 二元函数 33 ()35fxyxyxy  ， 所有的 极值 点和 极值 答案 ： 解 ： 由方程组 2 2 330 330 x y fxy fyx       ，得 驻点 (00) ， ， (11)， . 又 6 xx Afx   ， 3 xyyx Bff   ， 6 . yy Cfy   对于 驻点 (00) ， ： 0 A ， 3 B ， 0 C  ， 由 2 90 BAC  知 (00) ， 不是 极值点 .

7 对于 驻点 (11)， ： 6 A ， 3 B ， 6 C  ， 由 2 270 BAC  且 0 A 知 (11)， 是 极小 值点 ， 极小值 (11)4f  ， . 因此 ， 函数 ()fxy ， 有 极小值 点 (11)， ， 极小值 为 4. 2． 求通过直线 1 21 :32 23 xt lyt zt       ， ，和直线 2 311 : 232 xyz l   的平面  的方程 . 答案 ： 解 ：由题意知 1l和 2l的方向向量 12 (232) ， ， ==ss ，取直线 1l上一点 1(123)P ， ， -- ，取 直线 2l上一点 2(311)P ， ， - ， 则平面  的法向量 1 ns=´ 12PP 23218(101) 434 ， ， ijk ==- - ， 故 平面  的方程 为 (1)(3)0xz ， 整理得 20 xz .