2024届吉林省白山市高三上学期第一次模拟考试数学.docx
2024年白山市第一次高三模拟考试
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，则的虚部为（ ）
A. B. C.2 D.
3.已知，，若在向量上的投影为，则向量（ ）
A. B. C. D.
4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A.300 B.432 C.600 D.864
5.“”是“方程有唯一实根”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为（ ）
A.16 B.25 C.36 D.49
7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（ ）
A.直线与是异面直线 B.平面平面
C.该几何体的体积为 D.平面与平面间的距离为
8.不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点，关于对称，线段的中点的坐标为.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为，平均数为，方差为.若7个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为，方差为，则（ ）
A.一定大于 B.可能等于 C.一定大于 D.可能等于
10.公差不为零的等差数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（ ）
A.
B.为其一个对称中心
C.若在单调递增，则
D.曲线与直线有7个交点
12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，若为的准线上任意一点，则（ ）
A.直线若的斜率为，则 B.的取值范围为
C. D.的余弦有最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.化简____________.
14.已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______.
15.在四面体中，，，且满足，，.若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为___________.
16.已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个__________（答案不唯一），_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等比数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和记为，求.
18.（12分）在中，角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求角；
（2）过作，交线段于，且，求角.
19.（12分）如图所示，在矩形中，，，，为的中点，以为折痕将向上折至为直二面角.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐角的余弦值.
20.（12分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.
（1）求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
（2）求张老师当天穿西装的概率.
21.（12分）已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于、的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过的直线与双曲线交于，两点（，不与，重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.
22.（12分）已知函数（为常数），函数.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值的范围；
（2）当，设函数，若在上有零点，求的最小值.
2024年第一次高三模拟考试
数学监测试卷答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.答案：B 【详解】∵，，∴；故选B
2.答案：D 【详解】∵，∴的虚部为；故选D.
3.答案：D 【详解】∵；故选D
4.答案：B 【详解】总的方法数为；故选B
5.答案：A 【详解】方程有唯一解，即直线与上半圆有且仅有一个交点，解得的取值范围为，
∴是方程有唯一解的充分不必要条件；故选A.
6.答案：D 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49.
7.答案：D 【详解】∵，，，四点共面，直线与是共面的；∴A错
取中点，连接、，则为二面角的平面角，
其余弦值为；B错
；∴C错
连接、设交于，则为正三棱锥，其底边长为2，侧棱长为，所以到平面的距离，所求平面与平面间的距离为；D正确
8.答案：C 【详解】设为坐标原点，在椭圆中，，又，
∴即，又，∴，所以所求离心率为；故选C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）
9.答案：BC 【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以方差变小.
10.答案：AD 【详解】由得，，根据等差数列性质知，又，∴
由，得，∴
所以；故选：AD.
11.答案：ACD 【详解】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，所以A正确；
因为，且，所以B不正确；
令，，故易知在单调递增，故，C正确；
直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，
当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线有7个交点，故D正确.
故选：ABD.
12.答案：BCD 【详解】对于A选项，设的倾斜角为，则；故A错
对于B选项，∵以为直径的圆与准线相切，点在以为直径的圆上或圆外，
∴，当在直线上时，∴；故B正确
对于C选项，设，，，
设，联立，易得，∴，故C正确
对于D选项，
又，∴；故D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案：2
【详解】.
14.答案：
【详解】∵，解得，常数项为.
15.答案：
【详解】将四面体放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为，和4，所以四面体外接球的直径为6，体积为.
16.答案：；
【详解】令，则，解得或，
若，令，，则，即与已知矛盾
∴，令，则，∴为偶函数
令，则，可推出，以6为周期
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为，结合以6为周期，则.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）设等比数列的公比为，由已知，得（*）
易观察，2是（*）方程的一个根，∴
∴又，∴.
（2）由（1）知，
∴（1）
（2）
（1）-（2）得，
∴
18.解：（1）由正弦定理得：.
∵，∴
∴
∴，
又，∴，又为三角形内角，∴.
（2）因为在边上，且，所以.
因为，所以，
所以.
在中，，，∴.
19.
（1）证明：由已知，且为线段的中点，∴
又平面平面，且平面平面，平面
∴平面，又平面，∴.
（2）设为线段上靠近的三等分点，为的中点，
由已知，又平面
∴，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系
∵，，∴，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
则，即
不妨令，则
同理，平面的法向量
，
所以平面与平面所成的锐角的余弦值为.
20.解：（1）随机变量的取值为0，1
，
所以的分布列为：
.
（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装.
根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，
穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，
则当天穿西装的概率为.
所以张老师当天穿西装的概率为.
21.解：（1）设，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距为，可得，则，
结合，∴，，
∴双曲线的标准方程为：.
（2）证明：由（1）知，，设，.
因为，不与，重合，所以可设直线.
与联立：，
消去整理可得：，
故，，
，，，
∴.
22.解：（Ⅰ），
①时，，则在上单调递增，至多有一个零点.
②时，令得，则在上单调递增；
令得，则在上单调递减；
若有2个零点，则需满足，则，
又，且，
令，则，
令，得，故在上单调递增；
令，得，故在上单调递减；
∴，则，即，
则.
故在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意
所以为所求.
（2）设函数在上的零点为，则
所以在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方
所以
又，∴，令，则
，∴在上单调递减
，即
所以的最小值为，