辽宁省实验中学2023-2024学年度高考适应性测试（二）数学.docx
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辽宁省实验中学2023-2024学年度高考适应性测试（二）
高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，19小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．帕普斯：（Pappus）古希腊数学家，3﹣4世纪人，伟大的几何学家，著有《数学汇编》．此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料．如图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数在区间上是减函数.
3．已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．129
7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题6分，共18分）
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
10．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上
B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A．（其中） B．数列是递减数列
C． D．数列的前项和
三、填空题（每题5分，共15分）
12．方程在区间上的所有解的和为 .
13．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
14．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 ， .
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．
16．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
17．已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
18．已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围.
19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．