江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初适应性练习数学.docx
2023~2024学年度第二学期高三期初试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（ ）
A．18 B．20 C．21 D．22
2．已知复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．在中，，且的面积为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项的和为（ ）
A． B． C．5 D．25
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则粗圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“，使得成立”
B．若命题“恒成立”为真命题，则
C．“”是“方程有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“”为真命题，则
10．正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（ ）
A．中元素的个数为58
B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2
C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素
D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．的最小值是
C．存在唯一实数，使得是偶函数
D．在上有3个极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．与圆和圆都相切的直线方程是______．
13．已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为______．
14．如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．已知，则实数的最小值为______；函数，且，则实数______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，为圆的内接正三角形．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）
为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响．
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及数学期望；
（2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求．
17．（15分）
已知函数．
（1）判断函数在区间上极值点和零点的个数，并给出证明；
（2）若恒成立，求实数．
18．（17分）
已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．
19．（17分）
对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．
（1）数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？