浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学.docx

浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考

数学试卷

命题:浙江省杭州第二中学

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.若全集,集合A,B及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( )

A. B. C. D.

2.已知,且,则与的夹角的余弦值为( )

A. B. C. D.

3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

4.已知角的终边过点,则( )

A. B. C. D.

5.设等比数列的公比为,前项和为,则“”是“为等比数列”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知实数x,y满足,且,则的最小值为( )

A. B.8 C. D.

7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足,则三角形ABC的面积的最大值是( )

A. B. C. D.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是( )

A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小

C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大

10.在三棱锥中,已知,点M,N分别是AD,BC的中点，则( )

A.MN⊥AD B.异面直线AN,CM所成的角的余弦值是

C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的外接球的表面积为

11.已知函数,则( )

A.的零点为

B.的单调递增区间为

C.当时,若恒成立,则

D.当时,过点作的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.直线的一个方向向量是 .

13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .

14.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,且当时,,则 .

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且.

(I)求证:平面平面;

(II)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)己知函数,其中.

(I)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值;

(II)是否存在实数,使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造,可得到个复数,将它们的乘积记为.

已知复数具有运算性质:,其中.

(I)当时,记的取值为,求的分布列;

(II)当时,求满足的概率;

(III)求的概率.

18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,我们把点称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点进行赋值记为,例如,.

(I)求;

(II)求证:;

(III)如果满足方程,求的值.

19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,过点的直线与抛物线交于M,N两点在第一象限).

(I)当时,求直线的方程;

(II)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点(异于点O,M,N),

(i)证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;

(ii)求凸四边形OMDN的面积的取值范围.